Polära koordinater

Fil:Polar coordinate system-2.png

Polära och rektangulära koordinater i två dimensioner

Polära koordinater används i en form av tvådimensionellt koordinatsystem där en punkt identifieras av ett avstånd från en fix punkt samt av en vinkel.

Avståndskoordinaten är punktens avstånd r från origo och vinkelkoordinaten är vinkeln mellan x-axeln och linjen genom origo och punkten.

Cirkulära koordinater är ett annat namn för polära koordinater.

Samband med kartesiska koordinater

Transformering från polära koordinater till kartesiska koordinater sker genom

<math>\begin{cases}x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta\end{cases}</math>

och för transformering från kartesiska koordinater till polära kan

<math>\begin{cases} r = \sqrt{ x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan{\cfrac{y}{x}}\quad x \ne 0 \end{cases}</math>

användas. Funktionen arctan(y/x) fungerar korrekt endast för första och fjärde kvadranten, varför vissa programbibliotek har funktionen atan2(y, x) vilken ger värden för samtliga kvadranter enligt

<math>\operatorname{atan2}(y, x) =

\begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & x < 0 \mbox{, } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & x < 0 \mbox{, } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \mbox{, } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \mbox{, } y < 0\\ \text{odefinierad} & x = 0 \mbox{, } y = 0 \end{cases}</math>

Exempel på kurvor beskrivna med polära koordinater

Fil:Circle r=1.svg

En cirkel med ekvationen r(φ) = 1

Fil:Rose 2sin(4theta).svg

Den "polära rosen" med ekvationen r(φ) = 2 sin 4φ

Fil:Spiral of Archimedes.svg

En gren av Arkimedes spiral med ekvationen r(φ) = φ / 2π för 0 < φ < 6π

n-dimensionella polära koordinater

Fil:Polar-coordinates-4.png

Polära koordinater i tre dimensioner

Ett polärt koordinatsystems av n-1 dimensioner kan utökas till n dimensioner genom att en axel läggs till mot vilken svarar en ny vinkelkoordinat <math>\vartheta_{n-2}\in [0,\pi]</math>.

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan schemat för omvandling till rektangulära koordinater i det n-dimensionella fallet skrivas som

<math> \begin{array}{lcr}

x_{1} & = & r\ \cos\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{2} & = & r\ \sin\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{3} & = & r\ \cos\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2} \\ x_{4} & = & r\ \cos\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots \qquad\qquad\qquad\quad\\ x_{n-1} & = & r\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{n} & = & r\ \cos\vartheta_{n-2} \end{array} </math>